斐波那契数列求第n项数学公式（高中知识）

阐明：《高中数学选修课》教材第3卷第11页，提到了斐波那契数列通项的公式，但没有提供证据，这里我拿出我很久之前写的一篇证明文章，供大家分享。这是一种不需要太多其他知识作为基础的证明方法，与其他方法相比，这是一个比较简单的证明。

有一个数字序列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、……。此序列从第 3 项开始，每一项等于前两项之和。这个数列被称为“斐波那契数列”，也称为黄金分割序列。由数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子饲养为例介绍，因此，它也被称为“兔子序列”。

斐波那契在 1202 年出版的《计算书》中设计了一个有趣的算术问题，称为“兔子算术”，内容如下：有一对公兔和母兔，兔子长到2个月大后，如果每个月生一对公兔和母兔，打扰一下：一年会有多少对兔子？

斐波那契数列中的斐波那契数经常出现在我们眼前。例如：松果、菠萝、叶子的排列，某些花的花瓣数量（通常是向日葵花瓣），蜂窝，蜻蜓的翅膀，超越数 e，黄金矩形、黄金分割、等角螺旋，十二平等律等。

有趣的是，这样一个完全自然数的序列，通式用无理数表示。当数列趋于无穷大时，后一项与前一项的比例越来越接近黄金比例（约等于1.第618章）。例如：5÷3＝1.第666章，21÷13＝1.615，34÷21＝1.619，……。到后面去，得到的结果越来越接近黄金比例（φ）。

在下面，我们来证明一下斐波那契数列的通式是如何得到的。

由黄金比例的定义可以推导出来：

这个方程有两个解，其中之一是正确答案，现在：φ＝(1＋√5)/2≈1:618。

等式两边同时乘以 φ，我们可以得到下面的公式：

如果用Fn来表示斐波那契数列的第n项，那么我们可以将上式进一步改写为：

然后，我们可以用数学归纳法来证明：

然后，我们将上面第一个方程的两个根代入这个方程，得到：

将两个方程相减，我们可以得到：

所以，我们可以得到斐波那契数列的一般公式：

当n趋于无穷大时，有

这就证明了上面所说的“当数列趋于无穷大时，后一项与前一项的比例越来越接近黄金比例。”。

我们还可以通过构造一个矩形来导出黄金比例。如下所示：

根据斐波那契数列的特点，我们可以得到：

但

于是就推出了：

现在：

终于，我们通过技术可以得到如下结果（证明过程略过）：

这个公式也可以用图形来表示：